一日一ペディア　7月14日

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0.999...

無限小数が有限小数の必然的な拡張である1つの理由は、無限小数によりすべての分数を表現できることである。筆算を用いると ¹/₃ のような、整数の単純な割り算が循環小数 0.333... となる。ここで 3 は終わることなく永遠に続く。この小数を用いて、0.999... = 1 を即座に証明することができる。3と3の積は各桁に 9 を生ずるので、 3 × 0.333...は 0.999... に等しい。一方、3 × ¹/₃ は 1 である。したがって 0.999...=1 である。この証明の別の形として、¹/₉ = 0.111... に 9 を掛けることもできる。